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Multilingual in mathematics and statistics | Multilingüe en matemática y estadística | Multilingue en mathématique et statistique. <br><b><i>I ngach fhiontar, tús nua.</i></b>
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español al inglés: The Statistics of Clinical Trials. General field: Medicina Detailed field: Matemáticas y estadística
Texto de origen - español Significación y precisión estadísticas. Relevancia clínica.
Supongamos que una vez terminado el ensayo clínico en el que comparamos la eficacia de los medicamentos A y B, obtenemos una tasa de respuesta del 50% con A y del 45% con B. Realizada la correspondiente prueba estadística, resulta que A es mejor que B, con una p < 0,05 y un IC 95% = 2,5 al 9%. ¿Qué es lo que esto significa? El principal objetivo de las pruebas estadísticas es responder a la pregunta ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia observada se deba al azar? 1,2.
Una p < 0,05 indica que en menos de cinco veces de cada 100 que repitiéramos el mismo estudio, nuestro resultado se debería al azar. Una p significativa indica que existe una gran diferencia de efectividad entre ambos fármacos, o bien que la muestra estudiada es tan grande que hemos conseguido detectar una diferencia real, pero pequeña2. Debe advertirse que la significación estadística a partir de p < 0,05 es un convencionalismo, siendo también de interés la información que se obtiene de los resultados con una p algo mayor que 0,05. Cuanto mayor sea la p, más fuerte será la evidencia a favor de la hipótesis nula 1.
A veces surge la duda de si debemos elegir una p con una o con 2 colas. La respuesta es simple: puede calcularse con una cola siempre y cuando consideremos que el medicamento A nunca podrá ser peor que el fármaco de referencia (p. ej., un placebo). Sin embargo, incluso en la comparación de un fármaco activo con placebo, cabe la posibilidad de que se produzca un resultado falso negativo (que no se hallen diferencias frente al placebo). Esto es más
frecuente cuando la variable medida incluye criterios subjetivos, por ejemplo en la depresión psíquica, o cuando la muestra estudiada es pequeña 3. Por tanto, generalmente es conveniente elegir una p con 2 colas (A puede ser mejor o peor que B). Esta decisión es importante, ya que una p = 0,04 con una cola es estadísticamente significativa, mientras que la equivalente con 2 colas (p = 0,08) no lo sería.
La diferencia encontrada entre dos tratamientos puede ser estadísticamente significativa, y sin embargo no tener relevancia clínica. La relevancia clínica es un juicio subjetivo y
pragmático acerca de la importancia real para la práctica clínica de la diferencia hallada. Por ejemplo, si comparásemos la tolerancia gastrointestinal de 2 antiinflamatorios A y B, el A no produjera trastornos gástricos en 90 de cada 100 pacientes y el B fuera, así mismo, bien tolerado en 93 de cada 100 tratados, aunque la diferencia fuese estadísticamente significativa (p < 0,05) parece evidente que no tendría relevancia clínica2. La precisión estadística es la inversa de la variancia (a mayor precisión, menor variancia) que aumenta con el aumento del tamaño de la muestra. Una manera de medir la precisión es mediante el intervalo de confianza (IC). Cuanto más amplio es el IC menor es la precisión, hay menor confianza en que el resultado no se deba al azar y pueda inferirse a la población 2.
1. Plasencia A, Porta Serra M. La calidad de la información clínica (II): significación estadística. Med Clin (Barc) 1988; 90: 122-126.
2. Porta Serra M, Plasencia A, Sanz F. La calidad de la información clínica (y III): ¿estadísticamente significativo o clínicamente importante?Med Clin (Barc) 1988; 90: 436-468.
3. Makuch RW, Johnson MF. Dilemmas in the use of active control groups in clinical research. IRB 1989; 11: 1-5.
Traducción - inglés Significance and Precision in Statistics. Their Clinical Relevance.
Suppose that, having concluded a clinical trial which compared the effectiveness of drugs A and B, we had seen a response rate of 50% with A and 45% with B. On carrying-out the appropriate statistical test, it emerges that A is better than B, with p < 0.05 and a 95% Confidence Interval (CI) = 2.5% to 9%. What does this mean? The main objective of statistical tests is to answer the question "What is the probability that the observed difference is due to chance?" [1, 2].
A p < 0.05 indicates that if we repeated the same study 100 times, in less than five cases out of that 100 would our result be due to chance. A significant p indicates either that there is a large difference in effectiveness between the two drugs, or that the sample is so great that we have managed to detect a real, although small, difference. It should be noted that a result being statistically significant if p < 0.05 is merely a convention, the information deriving from results with p slightly larger than 0.05 is also of interest. The higher the p, the stronger the evidence for the null hypothesis [1].
Sometimes the question arises whether we should choose a one- or two-tailed p value. The answer is simple: we may carry-out a one-tailed calculation as long as we believe that drug A will never be worse than the reference drug e.g., a placebo). However, even in comparing an active drug with a placebo, it is possible to arrive at a false negative result (i.e. that it not different from placebo). This happens more frequently when the measured variable includes subjective criteria, such as in the case of depression, or when the sample is small [3]. Hence, it is generally advisable to choose a two-tailed p (A may be better or worse than B). This is important, since a one-tailed test with p = 0.04 is statistically significant, whereas the equivalent two-tailed test (p = 0.08) would not be.
The difference found between two treatments may be statistically significant, yet be of no clinical relevance. Clinical relevance is a subjective and pragmatic assessment of the real importance of the observed difference for clinical practice. For example, suppose we compare the gastrointestinal tolerance of two anti-inflammatory drugs, A and B, and observe that A did not produce gastric disturbances in 90 out of every 100 patients treated and that B was, likewise, well-tolerated in 93 out of every 100 patients treated, although this difference might be statistically significant (p < 0.05) it clearly seems not to be clinically relevant [2]. Statistical precision is the inverse of the variance (higher accuracy, lower variance) and increases with increasing sample size. One way of measuring accuracy is by means of the CI. The wider the CI, lower the precision; there is less confidence that the result has not arisen purely due to chance and may be attributed to the population [2].
1. Plasencia A, Porta Serra M. La calidad de la información clínica (II): significación estadística [The quality of clinical information (II): statistical significance]. Med Clin (Barc) 1988; 90: 122-126.
2. Porta Serra M, Plasencia A, Sanz F. La calidad de la información clínica (y III): ¿estadísticamente significativo o clínicamente importante? [The quality of clinical information (and III): "Statistically significant or clinically important?"]. Med Clin (Barc) 1988; 90: 436-468.
3. Makuch RW, Johnson MF. Dilemmas in the use of active control groups in clinical research. IRB 1989; 11: 1-5.
español al inglés: One is Infinite General field: Ciencias Detailed field: Matemáticas y estadística
Texto de origen - español Boletín de Matemáticas
Nueva Serie, Volumen VII No. 2 (2000), pp. 51–59
UNO ES INFINITO
JESÚS HERNANDO PÉREZ
RESUMEN. Se presenta una propuesta para manejar, matemáticamente, las palabras 'infinito' y 'número', distinguiendo dos situaciones cualitativamente diferentes: pluralidad y cantidad.
1. Introducción
2. El infinito como pluralidad
3. El infinito como cantidad
El infinito como cantidad tiene dos interpretaciones: la analítica y la sintética. En estas notas centraremos la atención en la versión analítica debida al matemático Abraham Robinson (~ 1950); la versión sintética, originada en los trabajos de William Lawvere (~ 1963), por razones de espacio, no será presentada en este trabajo.
El infinito cantidad fue explicado por la teoría conocida con el nombre de 'Análisis no estándar' desarrollada, en sus elementos básicos, por el matemático Abraham Robinson. Esta teoría tuvo antecedentes, muy importantes, en la obra pionera de Leopoldo Lówenheim y Thoralf Skolem; estos matemáticos desarrollaron una teoría de conjuntos no estándar, que con el tiempo se ha venido convirtiendo, después de la obra de Paul Cohen, en una herramienta importante de la teoría de conjuntos.
El aporte de Robinson se basa en una propiedad fundamental de los lenguajes de primer orden: son compactos. Esto ultimo significa lo siguiente: Un conjunto T de sentencias en un lenguaje de primer orden LT es consistente (es decir tiene un modelo), si y solamente si toda parte finita de T tiene un modelo. ('Primer orden' significa que cuantificamos sobre variables que se refieren a individuos (no a subconjuntos) de un dominio dado; 'compacidad' vale en primer orden con cuantificación finitística).
Apliquemos este teorema a la teoría de primer orden de los números reales incrementada por las proposiciones
0 < ς < 1/n, n = 1,2, ... donde ς es un símbolo nuevo. Más explícitamente, consideremos el lenguaje de primer orden en el cual se cuenta con un símbolo por cada número real, uno por cada función y uno por cada relación. En este lenguaje escogemos todas las sentencias a que son verdaderas en R cuando se interpreta cada símbolo como el objeto correspondiente. Llamamos T(R) al conjunto de estas sentencias. A continuación escogemos un símbolo de constante c; y consideremos la teoría T como la reunión de T(R) con el conjunto de sentencias {0 < ς < 1/n, n є N}.
Esta teoría T es consistente pues cualquier subconjunto finito de T se verifica en R. Siendo consistente la teoría T existe un conjunto R* (llamado dominio hiperreal) en el cual todos los símbolos de T se interpretan y todas las sentencias de T son verdaderas con esta interpretación; este conjunto no puede ser igual a R porque aquí no hay cantidades infinitamente pequeñas.
En R* se interpretan todos los símbolos de T, por lo tanto, se interpretan todos los símbolos de T(R) y la constante ς. Ahora bien, para cada número real, para cada función real y para cada relación real hay un símbolo en el lenguaje de T(R) entonces, en R* existen objetos de la misma naturaleza que los interpretan. En esta forma, en R* existe un individuo por cada número real y una relación por cada relación real, respetando las respectivas aridades.
Todos estos elementos se notarán con el mismo símbolo con el que se notan en R. Así, si e es el nombre de un número real (el número de Euler), este será, también, el nombre del correspondiente elemento de R*; si < es el nombre de la relación binaria de orden estricto en R este será el nombre de la correspondiente relación binaria en R*. Esta ultima relación tiene las mismas propiedades de primer orden que posee la misma relación en R. En efecto, la sentencia:
∀x∀y∀z(x < y ∧ y < z ⇒ x < z)
es verdadera en R y por lo tanto pertenece a T(R), lo cual implica que la respectiva relación en R* también satisface esta sentencias.
Traducción - inglés
ONE IS INFINITE
JESÚS HERNANDO PÉREZ
SUMMARY. We present a proposal for a method of treating the words 'infinite' and 'number' mathematically, distinguishing between two qualitatively different situations: the uncountable and the countable.
1. Introduction
2. Uncountable Infinity.
3. Countable Infinity
Countable Infinity has two interpretations: the analytic and synthetic [TN: More commonly, the "non-constructive" and the "intuitionistic"]. In this paper, we will focus on the analytic version due to the mathematician Abraham Robinson (~ 1950); the synthetic version originating in the works of William Lawvere (~ 1963) will, for reasons of space, be omitted.
Countable Infinity was explained by the theory known as 'Non-standard analysis', developed in its basic elements, by the mathematician Abraham Robinson [TN: His 1996 "Non-standard analysis" gives a rigorous derivation of infinitely large numbers]. This theory had deep roots in the pioneering work of Leopold Lówenheim and Thoralf Skolem, mathematicians who developed a non-standard set theory, which over time has been converted, following the work of Paul Cohen, into an important tool of set theory.
Robinson's contribution is based on a fundamental property of first-order languages: they are compact. This implies that a set T of sentences, in a first-order language LT, is consistent (i.e. has a model), if and only if, every finite part of T has a model. ('first-order' means that quantified variables refer to elements (not subsets) of a given domain, 'compactness' is a cornerstone of first order finitistic quantification).
Let us apply this theorem to the first-order theory of real numbers augmented by the propositions 0 < ς < 1/n, n = 1,2, ... where ς is a new symbol. More explicitly, consider that first-order language which has a symbol for every real number, one for each function and one for each relationship. In this language, we select all sentences which are true in R when one interprets each symbol as the corresponding object. Let us call T(R) the set of these sentences. In the following, we choose a constant symbol ς, and consider the theory T as the collection of T(R) together with the set of statements {0 < ς < 1/n, n є N}.
The theory T is consistent because any finite subset of T has a model in R. Hence, there exists a set R* (known as the hyperreal domain [TN: The hyperreals, in the sense of Kanovei and Shelah's "A definable nonstandard model of the reals"]) in which all the symbols of T are interpreted and all sentences of T are true with this interpretation; this set can not be R because because that contains no infinitely small quantities [TN: infinitesimals].
In R* one interprets all the symbols of T, therefore, one also interprets all the symbols of T(R) and the constant ς. Now, for each real number, for each real function, and for each real relationship, there is a symbol in the language of T(R) so R* contains objects of the same nature which interpret them. Thus, in R* there exists an element for each real number and a relationship for each real relationship, preserving their respective arities.
All these elements are annotated with the same symbol with which they are annotated in R. Thus, if e is the name of a real number (Euler's number), this will also be the name of the corresponding element of R*; if < is the name of the strict binary relation in R, this will also be the name of the corresponding binary relation in R*. In fact, the sentence:
∀x∀y∀z(x < y ∧ y < z ⇒ x < z)
is true in R and, hence, belongs to T(R), which implies that the corresponding relation in R* also satisfies this sentence.
español al inglés: SIERRA NEVADA General field: Arte/Literatura Detailed field: Poesía y literatura
Texto de origen - español Vestida eternamente
de caprichosa y vívida esmeralda;
vertiendo de tu falda
las cristalinas aguas de la fuente;
de plantas llena y de silvestres flores
que pinta el sol de espléndidos colores,
y besan auras frías
henchidas de fragancias y armonías;
la frente coronada
de formidables témpanos de hielo,
donde sonríe alegre la alborada,
se regocija el resplandor del cielo,
sus cenicientas plumas
descoje al aire el cóndor atrevido,
y truena entre relámpagos y brumas
la tempestad con hórrido estampido;
surcada por torrentes bramadores
y turbios manantiales
que en pardas rocas quiebran sus cristales,
y pueblan de rumores
al prado, al bosque, al valle y sus alcores;
sintiendo el ronco arrullo
que brota del soberbio ventisquero,
ó el plácido murmullo
con que la brisa en la arboleda umbría
del sol saluda el rayo postrimero;
bella como la virgen poesía,
radiante como el día
y cual la gloria hermosa y encumbrada,
te levantas gentil, Sierra Nevada.
Pirámides de oro y de diamante
ó aureolas de púrpura brillante
semejan esas cúpulas de nieve
que acaricia en tu cumbre el aura leve,
según que luzca en ellas
el reflejo sutil de las estrellas,
la intensa luz de la rosada aurora
ó el pomposo esplendor del mediodía.
El ave cantadora
vierte su deliciosa melodía
al borde de tus tétricos barrancos,
y sus plumajes blancos,
y su raudal de perlas y de plata
deja caer la hirviente catarata
de tu declivio en el profundo seno,
con el grandioso estrépito del trueno.
Sentada sobre moles de granito
te levantas del suelo á lo infinito;
escuchas el concierto
de los orbes que pueblan el espacio;
de aljófares cubierto
y de fulgentes chispas de topacio,
ostentas tu follaje;
y en medio del salvaje
silencio que domina en tu espesura,
oyes rodar desde tu inmensa altura
del puma enfurecido
el trémulo bramido,
ó el rumor del alud que en trasparentes
masas de limpia y virginal blancura,
resbala por tus ásperas vertientes.
Después que las ruidosas tempestades
te iluminan con breves resplandores,
y henchidas de furores
asordan tus incultas soledades;
después que las del aire negras nubes
desbordan en tu frente
de sus aguas el límpido torrente,
y genios, hadas, silfos y querubes
van sembrando de puntos luminosos
del cielo azul los senos misteriosos,
¡qué bello es contemplar sobre tu falda
de vívida esmeralda,
la blanca luz del véspero que asoma
sobre el perfil de la contraria loma,
ó dulce cual ninguna
la claridad serena de la luna!
Entonces el poeta
posa en tus nieves la mirada inquieta,
y con ardiente anhelo
trepar quisiera á tu desierta cumbre,
para sentir allí, cerca del cielo,
del sol bañado en la fulgente lumbre,
y escuchando el rumor con que se lanza
de su alto origen cristalina fuente,
en el alma brotar nueva esperanza,
juveniles ensueños en la mente,
inspiración en la olvidada lira,
y dentro el pecho ansioso,
que hirió el dolor con dardo venenoso,
el imposible bien por que suspira.
Traducción - inglés Forever dressed
in fickle and vivid emerald;
flowing from your skirt
the spring’s crystalline waters;
filled with plants and wild flowers
which the sun paints with lavish colours,
kissed by cold but gentle breezes
laden with fragrances and harmonies;
your forehead capped
with tremendous sheets of ice,
where the happy daybreak smiles,
and rejoices in the brightness of the sky,
his ash-grey wings
the daring condor spreads in the air,
and rumbles, between lightning flashes and mists,
the thunderstorm’s fearful boom;
crossed by roaring torrents
and muddy springs
which break your crystals between brown rocks,
and fill with murmurs
the meadow, forest, valley and your hillsides;
sensing the hoarse lullaby
which springs from the high glacier,
where the placid murmur
with which the breeze in the shady grove
welcomes the last sunbeam;
beautiful as unwritten poetry,
gleaming like the day
and whose beautiful and lofty glory,
wakes you gently, Sierra Nevada.
Pyramids of gold and diamond
or bright purple halos
those domes of snow resemble
which the mild breeze caresses at your summit,
depending on whether shine in them
the subtle reflection of the stars,
the intense light of the rosy dawn
or the ostentatious splendor of noon.
The singing bird
pours forth his delicious melody
at the edge of your gloomy ravines,
and his white plumage,
and his abundance of pearls and silver
the boiling cataract
of your ravine side in the deep hollow
with a great crash of thunder throws down.
Seated on granite blocks
you rise from the ground to the infinite;
you hear the music
the spheres populating space;
covered in dewdrops
and brilliant sparks of topaz
show off your foliage;
and amid the wild
silence that rules in your undergrowth,
you hear roll from your great heights
of the enraged cougar
the trembling bellow,
or the avalanche’s sound which in a transparent
mass of clean and virginal white,
sweeps your rough slopes.
After the noisy storms
light you with short flashes,
and, bloated with fury,
deafen your uncultivated wilderness;
after the air‘s dark clouds
overflow on your forehead
of your waters the clear torrent,
and spirits, fairies, Sylphs and Cherubs
go scattering with bright spots
the mysterious breasts of the blue sky
How beautiful to contemplate on your skirt
of vivid emerald
the white light of evening looming
over the profile of the opposite hill
O sweet as nothing else
the serene clarity of the moon!
Then the poet’s
restless gaze falls on your snows
and with ardent desire
wishes to climb to your desert summit
to feel there, near the sky,
bathed by the Sun’s glittering light,
and listening to the murmuring
of the high crystal fountain,
in the soul new hope to spring,
youthful dreams in mind,
inspiration in the forgotten lyre,
and within the eager breast,
which pain wounded with a poison dart,
the impossible good for which he longs.
francés al inglés (University of Dublin, Trinity College) español al inglés (University of Dublin, Trinity College) inglés (University of Dublin, Trinity College)
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